Transformation in Computer Graphics

24-09-2024

พิกัดของจุดในสามมิติ

ในระบบพิกัดที่พบเห็นได้ทั่วไป เราสามารถนิยามจุด pp ใด ๆ ในสามมิติ ได้ด้วยจำนวนจริง x,y,zx, y, z ในรูปแบบ (x,y,z)(x, y, z)

นอกจากการเขียนในรูปแบบ (x,y,z)(x, y, z) แล้ว เรายังสามารถเขียนในรูปแบบของเวกเตอร์ได้ด้วย โดยใช้เวกเตอร์หนึ่ง ๆ ที่มีขนาดเท่ากับ 3 และมีค่าเป็นจำนวนจริง 3 ตัว ซึ่งเราสามารถเขียนในรูปแบบ[xyz]\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}

การแปลงของจุดในสามมิติ

การแปลงเบื้องต้นในสามมิติ มีอยู่ 5 รูปแบบได้แก่

ในการแปลงรูปแบบ Scaling, Rotation, Shear, Reflection สามารถใช้ Matrix ในการแปลงได้โดยตรงผ่านการคูณ Matrix เข้ากับเวกเตอร์ของจุดนั้น ๆ

Translation

การเลื่อนที่ของจุดในสามมิติสามารถทำได้โดยง่ายด้วยการบวกเวกเตอร์ของจุดนั้น ๆ ด้วยเวกเตอร์ของขนาดของการเลื่อนที่ ซึ่งเราสามารถเขียนในรูปแบบของ Matrix ได้ดังนี้

[xyz]+[txtytz]=[x′y′z′]\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} t_x\\t_y\\t_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x'\\y'\\z' \end{bmatrix}

Scaling, Rotation, Shear และ Reflection

ในการแปลงรูปแบบ Scaling, Rotation, Shear และ Reflection สามารถใช้ Matrix ในการแปลงได้โดยตรงผ่านการคูณ Matrix เข้ากับเวกเตอร์ของจุดนั้น ๆ ซึ่งเราสามารถเขียนในรูปแบบของ Matrix ได้ดังนี้

[abcdefghi][xyz]=[x′y′z′]\begin{bmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x'\\y'\\z' \end{bmatrix}

การรวมการแปลง

เนื่องจากการคูณ Matrix สามารถรวมกันก่อนแล้วนำมาคูณกับจุดที่ต้องการแปลงได้ในคราวเดียว ดังนั้นเราสามารถเขียนในรูปแบบของ Matrix ได้ เช่น

AA เป็นเวกเตอร์ที่ใช้ในการหมุนจุดในสามมิติ โดยที่ θ\theta คือมุมที่ต้องการหมุนรอบแกน z

A=[cos⁡θ−sin⁡θ0sin⁡θcos⁡θ0001]A = \begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0\\ \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

BB เป็นเวกเตอร์ที่ใช้ในการขยายจุดในสามมิติ โดยที่ 2 คือขนาดของการขยาย

B=[200020002]B = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}

เราสามารถคูณ Matrix 2 อันนี้เข้าด้วยกันได้เพื่อให้ได้ Matrix ที่ใช้ในการหมุนและขยายจุดในสามมิติได้

A×B=[2cos⁡θ−2sin⁡θ02sin⁡θ2cos⁡θ0002]A \times B = \begin{bmatrix} 2\cos{\theta} & -2\sin{\theta} & 0\\ 2\sin{\theta} & 2\cos{\theta} & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}

แล้วสามารถนำมาคูณกับเวกเตอร์ของจุดที่ต้องการแปลงได้

[2cos⁡θ−2sin⁡θ02sin⁡θ2cos⁡θ0002][xyz]=[2xcos⁡θ−2ysin⁡θ2xsin⁡θ+2ycos⁡θ2z]\begin{bmatrix} 2\cos{\theta} & -2\sin{\theta} & 0\\ 2\sin{\theta} & 2\cos{\theta} & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x\cos{\theta} - 2y\sin{\theta}\\2x\sin{\theta} + 2y\cos{\theta}\\2z \end{bmatrix}

แต่หากในกรณีที่มีการเลื่อนเข้ามาด้วยจะทำให้คำนวณได้ลำบากอย่างมาก

$C เป็นเวกเตอร์ที่ใช้ในการเลื่อนจุดในสามมิติ

C=[345]C = \begin{bmatrix} 3\\4\\5 \end{bmatrix}

เมื่อทำการขยายขนาดด้วย BB จากนั้นเลื่อนที่ด้วย CC แล้ว หลังจากนั้นจึงหมุนด้วย AA จะได้

((B×[xyz])+C)×A=([2x2y2z]+[345])×[cos⁡θ−sin⁡θ0sin⁡θcos⁡θ0001]=[2x+32y+42z+5]×[cos⁡θ−sin⁡θ0sin⁡θcos⁡θ0001]=[(2x+3)cos⁡θ−(2y+4)sin⁡θ(2x+3)sin⁡θ+(2y+4)cos⁡θ2z+5]\begin{aligned} ((B \times \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}) + C) \times A &= (\begin{bmatrix} 2x\\2y\\2z \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3\\4\\5 \end{bmatrix}) \times \begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0\\ \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 2x + 3\\2y + 4\\2z + 5 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0\\ \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} (2x + 3)\cos{\theta} - (2y + 4)\sin{\theta}\\(2x + 3)\sin{\theta} + (2y + 4)\cos{\theta}\\2z + 5 \end{bmatrix} \end{aligned}

ซึ่งสังเกตได้ว่าในการแปลงจุดหนึ่งครั้งต้องทำงานหลายขั้นตอน และหากมีการเปลี่ยนแปลงจำนวนขั้นตอน จะทำให้การคำนวณเพิ่มขึ้นอย่างมาก

การใช้ Matrix ในการแปลง

ใน Linear Algebra เราสามารถใช้ Matrix ขนาด 4×44 \times 4 มาช่วยในการแปลงจุดในสามมิติได้ โดยที่ Matrix นี้จะมีรูปแบบดังนี้

[sr(1,1)sr(1,2)sr(1,3)txsr(2,1)sr(2,2)sr(2,3)tysr(3,1)sr(3,2)sr(3,3)tz0001]\begin{bmatrix} sr_{(1,1)} & sr_{(1, 2)} & sr_{(1, 3)} & t_x \\sr_{(2, 1)} & sr_{(2, 2)} & sr_{(2, 3)} & t_y\\sr_{(3, 1)} & sr_{(3, 2)} & sr_{(3, 3)} & t_z\\0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

สังเกตว่าหลังจากการเพิ่มมิติให้กับ Matrix แล้วจะทำให้สามารถเขียนการเลื่อนที่ไว้ในมิติที่เพิ่มเข้ามาใหม่ได้ จึงทำให้สามารถทำการแปลงจุดในสามมิติได้โดยง่ายขึ้น โดยแทนที่จะเลื่อนที่ด้วยการบวกสามารถใช้การคูณ Matrix ได้โดยตรง เช่น

TvT_v เป็นเวกเตอร์ที่ใช้ในการเลื่อนที่ และ TmT_m เป็น Matrix ที่ใช้ในการเลื่อนที่จุดในสามมิติที่มีความหมายเทียบเท่ากับ TvT_v

Tv=[345]Tv+[xyz]=[345]+[xyz]=[x+3y+4z+5]\begin{aligned} T_v &= \begin{bmatrix} 3\\4\\5 \end{bmatrix}\\ T_v + \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 3\\4\\5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} x + 3\\y + 4\\z + 5 \end{bmatrix} \end{aligned}

จากการคำนวณด้านบน สามารถเขียนในรูปแบบของ Matrix ได้ดังนี้

Tm=[1003010400150001]Tm×[xyz1]=[1003010400150001]×[xyz1]=[x+3y+4z+51]\begin{aligned} T_m &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3\\0 & 1 & 0 & 4\\0 & 0 & 1 & 5\\0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ T_m \times \begin{bmatrix} x\\y\\z\\1 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3\\0 & 1 & 0 & 4\\0 & 0 & 1 & 5\\0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x\\y\\z\\1 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} x + 3\\y + 4\\z + 5\\1 \end{bmatrix} \end{aligned}

ซึ่งสามารถเทียบเคียงกันได้

สรุป

เราสามารถเขียน Matrix ในรูปแบบของการแปลงจุดในสามมิติได้ดังนี้

[sr(1,1)sr(1,2)sr(1,3)txsr(2,1)sr(2,2)sr(2,3)tysr(3,1)sr(3,2)sr(3,3)tz0001]×[xyz1]=[sr(1,1)x+sr(1,2)y+sr(1,3)z+txsr(2,1)x+sr(2,2)y+sr(2,3)z+tysr(3,1)x+sr(3,2)y+sr(3,3)z+tz1]\begin{bmatrix} sr_{(1,1)} & sr_{(1, 2)} & sr_{(1, 3)} & t_x \\sr_{(2, 1)} & sr_{(2, 2)} & sr_{(2, 3)} & t_y\\sr_{(3, 1)} & sr_{(3, 2)} & sr_{(3, 3)} & t_z\\0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x\\y\\z\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} sr_{(1,1)}x + sr_{(1, 2)}y + sr_{(1, 3)}z + t_x\\sr_{(2, 1)}x + sr_{(2, 2)}y + sr_{(2, 3)}z + t_y\\sr_{(3, 1)}x + sr_{(3, 2)}y + sr_{(3, 3)}z + t_z \\1 \end{bmatrix}

เพื่อให้ง่ายต่อการคำนวณและลดจำนวนขั้นตอนที่ต้องทำในการแปลงจุดในสามมิติ